Question

【题目】已知F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆C： =1（a＞0）的左、右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若A，B分别在直线x=﹣2和x=2上，且AF1⊥BF1 ．
（ⅰ）当△ABF1为等腰三角形时，求△ABF1的面积；
（ⅱ）求点F1 ， F2到直线AB距离之和的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，c=1，则a2﹣b2=c2，即a2﹣3=1，

则a2=4，

∴椭圆C的方程为 ．

（Ⅱ）（ⅰ）由题意可设A（﹣2，m），B（2，n），

由AF1⊥BF1，则 ，即（1，﹣m）（﹣3，﹣n）=0，则mn=3，①

由AF1⊥BF1，则当△ABF1为等腰三角形时，只能是|AF1|=|BF1|，即 ，

化简得m2﹣n2=8，②

由①②可得 或 ，

∴ ．

（ⅱ）直线 ，

化简得（n﹣m）x﹣4y+2（m+n）=0，

由点到直线的距离公式可得点F1，F2到直线AB距离之和为

∵点F1，F2在直线AB的同一侧，

∴

由mn=3，

则m2+n2≥2mn=6，

∴

当 或 时，点F1，F2到直线AB距离之和取得最小值 ．

∴点F1，F2到直线AB距离之和取得最小值

【解析】（Ⅰ）由题意可知a2﹣3=1，即可求得a的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）（ⅰ）根据向量数量积的坐标运算，即可求得mn=3，由|AF1|=|BF1|，求得m2﹣n2=8，即可求得m和n的值，求得三角形的面积；（ⅱ）直线 ，利用点到直线的距离公式，由点F1，F2在直线AB的同一侧，利用基本不等式的性质，即可求得点F1，F2到直线AB距离之和的最小值．