Question

设函数f（x）=m（1+sin2x）+cos2x，x∈R，且函数y=f（x）的图象经过点（

π

4

，2）．
（1）求实数m的值；
（2）求函数f（x）的最小值及此时x值的集合．

Answer 1

分析：（1）由f（

π

4

）=2即可求得实数m的值；
（2）当m=1时，可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，利用正弦函数的性质可求得f（x）的最小值及此时x值的集合．

解答：解：（1）由已知得：f（

π

4

）=m（1+sin

π

2

）+cos

π

2

=2，
解得m=1．
（2）由m=1得f（x）=1+sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴当sin（2x+

π

4

）=-1时，f（x）取得最小值1-

2

，
由sin（2x+

π

4

）=-1得：2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，
即x=kπ-

3π

8

（k∈Z）．
∴函数f（x）取得最小值时，x值的集合为{x|x=kπ-

3π

8

（k∈Z）．}

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的性质，属于中档题．