Question

18．函数y=x²+$\frac{36}{{x}^{2}+2}$+|2-x|的最小值是10．

Answer 1

分析 利用基本不等式可判断x²+$\frac{36}{{x}^{2}+2}$≥10，而且当x²+$\frac{36}{{x}^{2}+2}$取得最小值时，|2-x|也可取得最小值，从而解得．

解答 解：∵x²+$\frac{36}{{x}^{2}+2}$
=（x²+2）+$\frac{36}{{x}^{2}+2}$-2
≥2$\sqrt{36}$-2=10，
（当且仅当x²+2=$\frac{36}{{x}^{2}+2}$，即x=±2时，等号成立）；
而|2-x|≥0，
（当且仅当x=2时，等号成立）；
∴当x=2时，
函数y=x²+$\frac{36}{{x}^{2}+2}$+|2-x|取得最小值10；
故答案为：10．

点评 本题考查了学生的化简运算能力，同时考查了分类讨论的应用及基本不等式在求最值时的应用．