Question

11．已知$\sqrt{（x-\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+{y}^{2}}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{（x+\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+{y}^{2}}$成等差数列，记（x，y）对应点的轨迹是C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点A，B，与圆x²+y²=1相切于点M．
①证明：OA⊥OB（O为坐标原点）；
②设λ=$\frac{|AM|}{|BM|}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义，求轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点A，B，与圆x²+y²=1相切于点M．
①证明x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3{m}^{2}-3（{k}^{2}+1）}{2{k}^{2}+1}$=0，即可证明：OA⊥OB（O为坐标原点）；
②λ=$\frac{|AM|}{|BM|}$=$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$，（Ⅱ）①知x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂=-y₁y₂，即${{x}_{2}}^{2}$=$\frac{3-{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$．λ=$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+1}{2}$，即可求实数λ的取值范围．

解答 解：（1）由题意，$\sqrt{（x-\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+{y}^{2}}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{（x+\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+{y}^{2}}$成等差数列，
∴$\sqrt{（x-\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴C的轨迹是以（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）为焦点，2$\sqrt{3}$为长轴长的椭圆，
∴a=$\sqrt{3}$，b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{2{y}^{2}}{3}$=1；
（2）①证明：∵直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，
∴d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=k²+1，
由直线代入椭圆方程，消去y并整理得，（1+2k²）x²+4kmx+2m²-3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₁=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-3}{1+2{k}^{2}}$
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3{m}^{2}-3（{k}^{2}+1）}{2{k}^{2}+1}$=0，
∴OA⊥OB；
②∵直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的两点A，B，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}+\frac{2{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{3}+\frac{2{{y}_{2}}^{2}}{3}=1$．
∴λ=$\frac{|AM|}{|BM|}$=$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$，
由（2）①知x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂=-y₁y₂，即x₁²x₂²=y₁²y₂²=$\frac{1}{2}$（3-x₁²）•$\frac{1}{2}$（3-x₂²），
即有${{x}_{2}}^{2}$=$\frac{3-{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$．
∴λ=$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+1}{2}$
∵$-\sqrt{3}≤{x}_{1}≤\sqrt{3}$，
∴λ的取值范围是$\frac{1}{2}≤λ≤2$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用向量数量积判断两条线段的垂直关系，考查运算能力，属难题．