Question

点P（x，y）在函数y=3

1- x2 4

的图象上运动，则2x-y的最大值与最小值之比为

-

4

5

．

Answer 1

分析：函数y=3

1- x2 4

即

x2

4

+

y2

9

=1(y≥0)，表示椭圆的上半圆，与x轴的交点坐标为（-2，0），（2，0），设z=2x-y，即y=2x-z，几何意义是直线在y轴上截距的相反数，当直线与曲线相切时，纵截距最大，过（2，0）时，纵截距最小．

解答：解：函数y=3

1- x2 4

即

x2

4

+

y2

9

=1(y≥0)，表示椭圆的上半圆，与x轴的交点坐标为（-2，0），（2，0）
设z=2x-y，即y=2x-z，几何意义是直线在y轴上截距的相反数，当直线与曲线相切时，纵截距最大，过（2，0）时，纵截距最小
将y=2x-z代入曲线方程，消元可得25x²-16xz+4z²-36=0
令△=256z²-100（4z²-36）=0，解得z=±5，∴纵截距最大为5，∴2x-y的最小值为-5
将（2，0）代入z=2x-y，可得z=4，，∴2x-y的最大值为4
∴2x-y的最大值与最小值之比为-

4

5

故答案为：-

4

5

点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查函数最值的求解，解题的关键是明确函数的意义．