Question

16．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=AC=2，AB=BC，D是BC₁上的点．且CD⊥平面ABC₁．
（1）求证：AB⊥平面BCC₁；
（2）求四棱锥C₁-ABB₁A₁的体积．

Answer 1

分析 （1）利用直三棱柱的性质、线面垂直的判定和性质定理即可证明；
（2）直接利用体积公式，求四棱锥C₁-ABB₁A₁的体积．

解答 （1）证明：∵CC₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴CC₁⊥AB．
又∵CD⊥平面ABC₁，且AB?平面ABC₁，∴CD⊥AB，
又CC₁∩CD=C，∴AB⊥平面BCC₁B₁．
（2）解：由（1），结合AC=2，AB=BC，
可得AB=BC=$\sqrt{2}$，
∴四棱锥C₁-ABB₁A₁的体积V=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×2×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$．

点评 熟练掌握直三棱柱的性质、线面垂直的判定和性质定理、棱锥的体积公式是解题的关键．