Question

1．如图，圆柱的高为2，底面半径为3，AE，DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点，已知四边形ABCD是正方形．
（1）求证：BC⊥BE；
（2）求几何体AEB-DFC的体积；
（3）求平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据AE⊥底面BEFC，可得AE⊥BC，而AB⊥BC，又AE∩AB=A满足线面垂直的判定定理所需条件，则BC⊥面ABE，根据线面垂直的性质可知BC⊥BE；．
（2）根据题意可知四边形EFBC为矩形则BF为圆柱下底面的直径，设正方形ABCD的边长为x，建立方程，解之即可求出经，由此能求出几何体AEB-DFC的体积．
（3）以F为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵AE是圆柱的母线，∴AE⊥底面BEFC，
∵BC?面BEFC，∴AE⊥BC，
∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC，
又AE∩AB=A，∴BC⊥面ABE，
又BE?面AB，∴BC⊥BE．
（2）∵四边形AEFD为矩形，且ABCD是正方，∴EF$\underset{∥}{=}$BC，
∵BC⊥BE，∴四边形EFBC为矩形，
∴BF为圆柱下底面的直径，
设正方形ABCD的边长为x，则AD=EF=AB=x，
在直角△AEB中，AE=2，AB=x，且BE²+AE²=AB²，得BE²=x²-4，
在直角△BEF中，BF=6，EF=x，且BE²+EF²=BF²，得BE²=36-x²，
解得x=2$\sqrt{5}$，即正方形ABCD的边长为2$\sqrt{5}$，
∴何体AEB-DFC的体积V=S_△AEB•EF=$\frac{1}{2}×AE×BE×EF$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}×2\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$．
（3）如图以F为原点建立空间直角坐标系，
则A（2$\sqrt{5}$，0，2），B（2$\sqrt{5}$，4，0），F（0，0，0），C（0，4，0），D（0，0，2），
$\overrightarrow{FA}$=（2$\sqrt{5}$，0，2），$\overrightarrow{FB}$=（2$\sqrt{5}$，4，0），$\overrightarrow{FC}$=（0，4，0），$\overrightarrow{FD}$=（0，0，2），
设平面ABF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FA}=2\sqrt{5}x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=2\sqrt{5}x+4y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{5}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{5}$，-$\frac{5}{2}$，-5），
设平面CDF的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设平面DFC与平面ABF所成的锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{\frac{145}{4}}}$=$\frac{2\sqrt{29}}{29}$．
∴平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{29}}{29}$．

点评 本题主要考查了线线位置关系，线面所成角的度量，以及利用空间向量的方法求解立体几何问题，属于中档题，考查空间想象能力，计算能力．