Question

已知等差数列{a_n}中a₁=1，公差d＞0，前n项和为S_n，且S₁，S₃-S₂，S₅-S₃成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ）设bn=

1

Sn

(n∈N•)，证明：b₁+b₂+…+b_n＜2．

Answer 1

（Ⅰ）由题意S₁=a₁=1，S₃-S₂=a₃=1+2d，S₅-S₃=a₄+a₅=2+7d，
∵S₁，S₃-S₂，S₅-S₃成等比数列，
∴（1+2d）²=1×（2+7d），
解得d=-

1

4

（舍去）或d=1
∴a_n=n，
Sn=

n(n+1)

2

．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得bn=

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
∴b₁+b₂+…+b_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)＜2
即b₁+b₂+…+b_n＜2．