【题目】已知函数.
(1)若在处与直线相切,求的值;
(2)在(1)的条件下,求在上的最大值;
(3)若不等式对所有的都成立,求的取值范围.
【答案】(1);(2)最大值为;(3).
【解析】试题分析:(1)已知“在处与直线相切”说明, ,联立可解得;(2)要求最大值,首先通过导数研究函数在上的单调性与极值,发现在此区间上只要一个极大值点,它一定是最大值点;(3)本小题不等式恒成立问题,有两个参数,因此要把问题进行转化,不等式对所有的, 都成立,即对所有的, 都成立,即对所有的, 都成立,即对恒成立,即对恒成立,
即a大于等于在区间上的最大值,下面只要求得于在区间上的最大值即可.
试题解析:(1).
由函数在处与直线相切,得,即.
解得: .
(2)由(1)得: ,定义域为.
此时, ,令,解得,令,得.
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以在上的最大值为.
(3)若不等式对所有的, 都成立,
即对所有的, 都成立,
即对所有的, 都成立,
即对恒成立,
即对恒成立,
即a大于等于在区间上的最大值.
令,则,当时, , 单调递增,
所以, 的最大值为,即.
所以a的取值范围为.
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【题目】“微信运动”已成为当下热门的健身方式,小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
(1)若采用样本估计总体的方式,试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率;
(2)已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”,否则为“懈怠型”,根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
附: ,
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,
E为PD的中点,PA=2AB=2.
(1)若F为PC的中点,求证PC⊥平面AEF;
(2)求二面角的平面角的正弦值.
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【题目】某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》,共有名同学选修,其中男同学名,女同学名.为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性别采取分层抽样的方法抽取人进行考核.
(1)求抽取的人中男、女同学的人数;
(2)考核前,评估小组打算从选出的中随机选出名同学进行访谈,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;
(3)考核分答辩和笔试两项. 位同学的笔试成绩分别为;结合答辩情况,他们的考核成绩分别为.这位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为,试比较和的大小.(只需写出结论)
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【题目】给出下列四个命题:
①函数y=|x|与函数y= 表示同一个函数;
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点;
③函数y=3(x﹣1)2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到;
④若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(2x)的定义域为[0,4];
⑤设函数f(x)是在区间[a.b]上图象连续的函数,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上至少有一实根.
其中正确命题的序号是 . (填上所有正确命题的序号)
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【题目】设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图像与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11)。
(1)求a,b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
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【题目】如图,M,N,K分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点.
(1)求证:AN∥平面A1MK;
(2)求证:平面A1B1C⊥平面A1MK.
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