Question

20．在△ABC中，BC=$\sqrt{5}$，AC=3，sinC=2sinA．
（1）求AB的值；
（2）求cos（A+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，可求AB的值；
（2）由余弦定理，可得cosA=$\frac{20+9-5}{2•2\sqrt{5}•3}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即可求cos（A+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）∵sinC=2sinA，BC=$\sqrt{5}$，
∴AB=2BC=2$\sqrt{5}$；
（2）由余弦定理，可得cosA=$\frac{20+9-5}{2•2\sqrt{5}•3}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos（A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查和角的余弦公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．