Question

已知△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边的中线且AD⊥BE，则cosC的最小值为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：先设AC=2a，BC=2b，求出CE=a，CD=b，利用向量的减法得

AD

=

CD

-

CA

、

BE

=

CE

-

CB

，根据AD⊥BE得

AD

•

BE

=0，利用数量积的定义和运算律化简后，再根据基本不等式求出cosC的最小值．

解答： 解：设AC=2a，BC=2b，则CE=a，CD=b，
因为

AD

=

CD

-

CA

，

BE

=

CE

-

CB

，且AD⊥BE，
所以

AD

•

BE

=(

CE

-

CB

)•(

CD

-

CA

)=0，

CE

•

CD

-

CE

•

CA

-

CB

•

CD

+

CB

•

CA

=0，
abcosC-2a²cos0°-2b²cos0°+4abcosC=0，
即cosC=

2(a2+b2)

5ab

≥

2×2ab

5ab

=

4

5

（当且仅当a=b时取等号），
所以cosC的最小值为：

4

5

，
故答案为：

4

5

．

点评：本题考查了向量的减法运算，向量垂直的条件，数量积的定义和运算律，基本不等式求最值问题，把角的余弦值问题转化为数量积运算要简单些．