精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
10.平面内给定三个向量$\overrightarrow a$=(3,2),$\overrightarrow b$=(-1,2),$\overrightarrow c$=(4,1)
(Ⅰ)求满足$\overrightarrow a=m\overrightarrow b+n\overrightarrow c$的实数m,n;
(Ⅱ)若($\overrightarrow a+k\overrightarrow c)$∥(2$\overrightarrow b-\overrightarrow a)$,求实数k;
(Ⅲ)若$\overrightarrow d$满足($\overrightarrow d$-$\overrightarrow c$)⊥($\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$),且|$\overrightarrow d$|=2$\sqrt{2}$,求$\overrightarrow d$的坐标.

分析 (Ⅰ)由向量的加减、数乘坐标运算,得到m,n的方程,解得即可;
(Ⅱ)运用向量的共线的坐标表示,解方程即可得到k;
(Ⅲ)设$\overrightarrow{d}$=(x,y),运用向量垂直的坐标表示,及向量的模的公式,列方程,解得即可.

解答 解:(Ⅰ)$\overrightarrow{a}$=m$\overrightarrow{b}$+n$\overrightarrow{c}$,即为:(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),
即有-m+4n=3,且2m+n=2,
解得:m=$\frac{5}{9}$,n=$\frac{8}{9}$;
(Ⅱ)由于$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$=(3+4k,2+k),2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=(-5,2),
∵($\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$)∥(2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$),
∴2(3+4k)=-5(2+k),
解得,k=-$\frac{16}{13}$;
(Ⅲ)设$\overrightarrow{d}$=(x,y),
∵满足($\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$)⊥($\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$),
由$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$=(x-4,y-1),$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=(2,4),
即有2(x-4)+4(y-1)=0①,
且|$\overrightarrow d$|=2$\sqrt{2}$,即x2+y2=8②,
由①②解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$,
∴$\overrightarrow{d}$=($\frac{2}{5}$,$\frac{14}{5}$)或(2,2).

点评 本题考查平面向量的共线的坐标表示,考查向量的模的公式及运用,考查运算能力,属于基础题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

20.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)在曲线C上求一点D,使它到直线$l:\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}\\ y=-3t+2\end{array}\right.$(t为参数)的距离最短,并求出最短距离.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

1.如图,在圆内接梯形ABCD中,AB∥CD.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E,若AB=AD=3,BE=2,
(1)求证:梯形ABCD为等腰梯形;
(2)求弦BD的长.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.已知二次函数f(x)满足关系式f(-2+x)=f(-2-x),f(x)的图象被x轴截得的线段长为4,且方程f(x)=x有唯一的解,求f(x)的表达式.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

5.设函数f(x)=x2-2x+alnx.
(Ⅰ)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)证明:f(x2)>-$\frac{3+2ln2}{4}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.已知函数f(x)=ax-xlna+alnx-1(a>0,且a≠1),给出下列结论:
①函数f(x)为定义域上的增函数;
②当0<a<1时,函数f(x)在区间(a,1)上有且只有一个零点;
③对任意x∈[1,e],都有f(x)≥$\frac{1}{e}$恒成立的充要条件为a∈[$\frac{1}{e}$,1);
④设g(x)=f(x)-ax,存在唯一实数a,使得对任意x>0,都有g(x)+1≤0.
其中正确结论的序号为①②④.(写出所有正确结论的序号)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2.在直角坐标系中,曲线C1:$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=asinθ}\end{array}}$(θ为参数,a>0)过点P($\frac{3}{2},\sqrt{3}$),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$.
(Ⅰ)求曲线C1与直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)在C1上求一点M,使点M到直线l的距离最小,求出最小距离及点M的坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

19.甲、乙、丙、丁和戊5 名学生进行劳动技术比赛,决出第一名到第5 名的名次.若甲乙都没有得到冠军,并且乙不是最差的,5 个人的名次排名可能有多少种不同的情况?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

20.若z∈C,且i•z=1-i,则复数z=-1-i.

查看答案和解析>>

同步练习册答案