Question

10．平面内给定三个向量$\overrightarrow a$=（3，2），$\overrightarrow b$=（-1，2），$\overrightarrow c$=（4，1）
（Ⅰ）求满足$\overrightarrow a=m\overrightarrow b+n\overrightarrow c$的实数m，n；
（Ⅱ）若（$\overrightarrow a+k\overrightarrow c）$∥（2$\overrightarrow b-\overrightarrow a）$，求实数k；
（Ⅲ）若$\overrightarrow d$满足（$\overrightarrow d$-$\overrightarrow c$）⊥（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$），且|$\overrightarrow d$|=2$\sqrt{2}$，求$\overrightarrow d$的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量的加减、数乘坐标运算，得到m，n的方程，解得即可；
（Ⅱ）运用向量的共线的坐标表示，解方程即可得到k；
（Ⅲ）设$\overrightarrow{d}$=（x，y），运用向量垂直的坐标表示，及向量的模的公式，列方程，解得即可．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$=m$\overrightarrow{b}$+n$\overrightarrow{c}$，即为：（3，2）=m（-1，2）+n（4，1），
即有-m+4n=3，且2m+n=2，
解得：m=$\frac{5}{9}$，n=$\frac{8}{9}$；
（Ⅱ）由于$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$=（3+4k，2+k），2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=（-5，2），
∵（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）∥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），
∴2（3+4k）=-5（2+k），
解得，k=-$\frac{16}{13}$；
（Ⅲ）设$\overrightarrow{d}$=（x，y），
∵满足（$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
由$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$=（x-4，y-1），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2，4），
即有2（x-4）+4（y-1）=0①，
且|$\overrightarrow d$|=2$\sqrt{2}$，即x²+y²=8②，
由①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{d}$=（$\frac{2}{5}$，$\frac{14}{5}$）或（2，2）．

点评 本题考查平面向量的共线的坐标表示，考查向量的模的公式及运用，考查运算能力，属于基础题．