Question

17．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，}&{x≤0}\\{{x}^{2}-1，}&{x＞0}\end{array}\right.$，则“f[f（a）]=1“是“a=1”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 即不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义，结合函数的性质进行判断即可．

解答 解：当a=1，则f（a）=f（1）=0，则f（0）=0+1=1，则必要性成立，
若x≤0，若f（x）=1，则2x+1=1，则x=0，
若x＞0，若f（x）=1，则x²-1=1，则x=$\sqrt{2}$，
即若f[f（a）]=1，则f（a）=0或$\sqrt{2}$，
若a＞0，则由f（a）=0或1得a²-1=0或a²-1=$\sqrt{2}$，
即a²=1或a²=$\sqrt{2}$+1，解得a=1或a=$\sqrt{1+\sqrt{2}}$，
若a≤0，则由f（a）=0或1得2a+1=0或2a+1=$\sqrt{2}$，
即a=-$\frac{1}{2}$，此时充分性不成立，
即“f[f（a）]=1“是“a=1”的必要不充分条件，
故选：B．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据分段函数的表达式解方程即可．