Question

8．已知数列{a_n}，a₁=2，a_n+1=a_n+3n+2，则a_n=$\frac{1}{2}n（{3n+1}）$．

Answer 1

分析 对a_n+1=a_n+3n+2变形可得a_n+1-a_n=3n+2，通过累加得a_n-a₁=3×$\frac{n（n-1）}{2}$+2（n-1），进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=a_n+3n+2，
∴a_n+1-a_n=3n+2，
∴a₂-a₁=3×1+2，
a₃-a₂=3×2+2，
…
a_n-a_n-1=3×（n-1）+2，
累加得：a_n-a₁=3[1+2…+（n-1）]+2（n-1）=3×$\frac{n（n-1）}{2}$+2（n-1），
又∵a₁=2，
∴a_n=3×$\frac{n（n-1）}{2}$+2（n-1）+2=$\frac{1}{2}n（{3n+1}）$，
显然a₁=2满足此式，
∴数列{a_n}的通项a_n=$\frac{1}{2}n（{3n+1}）$，
故答案为：$\frac{1}{2}n（{3n+1}）$．

点评 本题考查数列的简单性质，利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．