【题目】如图,四棱锥中,,,,为正三角形.若,且与底面所成角的正切值为.
(1)证明:平面平面;
(2)是线段上一点,记,是否存在实数,使二面角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)存在,
【解析】
(1)由勾股定理与正三角形的性质可证,再由已知证得,由线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可证得平面平面;
(2)作BC延长线于点Q,且BQ=AD,由(1)可知,QD,QP,QB两两垂直,以它们所在直线分别做x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,结合已知即可表示点Q,A,C,D,E的坐标,进而求得面PAE与面ACE的法向量,利用向量的数量积求夹角与已知构建方程,求得的值.
(1)因为,,所以
又因为为正三角形,所以
又,则,即
又因为,,所以 且
所以平面,又因为平面
故平面平面
(2)作BC延长线于点Q,且BQ=AD,由(1)可知,QD,QP,QB两两垂直,以它们所在直线分别做x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),A(2,2,0),C(0,1,0),D(2,0,0)
由,可得,所以
设平面PAE的法向量为
则,即,令,解得
所以,显然是平面ACE的法向量
设二面角为
则
依据题意有,解得
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【题目】如图,已知梯形中,,,,四边形为矩形,,平面平面.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】十九世纪末:法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”,即“在一个圆内任意选一条弦,这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少?”贝特朗用“随机半径”“随机端点”“随机中点”三个合理的求解方法,但结果都不相同.该悖论的矛头直击概率概念本身,强烈地刺激了概率论基础的严格化.已知“随机端点”的方法如下:设为圆上一个定点,在圆周上随机取一点,连接,所得弦长大于圆的内接等边三角形边长的概率.则由“随机端点”求法所求得的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】中心在原点,焦点在轴上的椭圆,下顶点,且离心率.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)经过点且斜率为的直线交椭圆于, 两点.在轴上是否存在定点,使得恒成立?若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】2014年7月18日15时,超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计,本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元.适逢暑假,小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失,作出如下频率分布直方图:
经济损失 4000元以下 | 经济损失 4000元以上 | 合计 | |
捐款超过500元 | 30 | ||
捐款低于500元 | 6 | ||
合计 |
(1)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如上表,在表格空白处填写正确数字,并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?
(2)台风造成了小区多户居民门窗损坏,若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修,李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区,张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区,求连续3天内,李师傅比张师傅早到小区的天数的数学期望.
附:临界值表
参考公式: .
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【题目】已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示,其中四边形ABCD是边长为的正方形,若在该正四面体纸盒内放一个正方体,使正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值是_____.
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【题目】在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛马羊,要求赔偿五斗粮,三畜户主愿赔偿,牛马羊吃得异样.马吃了牛的一半,羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少?它的大意是放牧人放牧时粗心大意,牛、马、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗=10升),三畜的主人同意赔偿,但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?( )
A.B.C.D.
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