Question

11．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点到两个焦点的距离分别为3+2$\sqrt{2}$，3-2$\sqrt{2}$，如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于不同的两点A，B，C（-3，0），D（3，0），且直线CA与直线BD的交点是K，试求点K的轨迹方程．

Answer 1

分析 通过椭圆上的点到焦点的距离最大值和最小值可知a、c的值，从而求出椭圆方程，通过设A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），且有$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，联立直线CA、DB的方程并代入$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1整理即得结论；

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点到两个焦点的距离分别为3+2$\sqrt{2}$，3-2$\sqrt{2}$，
∴a=3，c=2$\sqrt{2}$，
∴b²=9-8=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，
依题意可设A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），且有$\frac{{t}^{2}}{9}+{y}_{0}^{2}=1$，
∴CA：y=$\frac{{y}_{0}}{t+3}$（x+3），DB：y=$\frac{-{y}_{0}}{t-3}$（x-3），
∴y²=$\frac{-{{y}_{0}}^{2}}{{t}^{2}-9}$（x²-9），
将$\frac{{t}^{2}}{9}+{y}_{0}^{2}=1$代入上式得y²=$\frac{1}{9}$（x²-9），
整理得交点K的轨迹方程：$\frac{1}{9}$x²-y²=1（y≠0）；

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及斜率、韦达定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．