【题目】已知函数f(x)=|x-1|.
(I) 解不等式f(2x)+f(x+4)≥8;
(II) 若|a|<1,|b|<1,a≠0,求证: >.
【答案】(Ⅰ)
(II)证明见解析
【解析】
(1)根据的分段函数形式,分类讨论求得不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集;(2)要证的不等式即,根据|a|<1,|b|<1,可得,从而得到所证的不等式成立。
(Ⅰ)f(2x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3|=
当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤ ;
当-3≤x< 时,-x+4≥8无解;
当x≥时,由3x+2≥8,解得x≥2.
所以不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为
(II)证明:>等价于f(ab)>|a|,即|ab-1|>|a-b|.
因为|a|<1,|b|<1,
所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,
所以|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立.
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【题目】已知椭圆中心在原点,焦点在轴上,且其焦点和短轴端点都在圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点是圆上一点,过点作圆的切线交椭圆于,两点,求的最大值.
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【题目】某实验室一天的温度(单位:)随时间(单位:)的变化近似满足函数关系:,.
(1)求实验室这一天的最高温度;
(2)若要求实验室温度不高于,则在哪段时间实验室需要降温?
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【题目】如图,正方体的棱长为4,动点E,F在棱上,动点P,Q分别在棱AD,CD上。若,,,(大于零),则四面体PEFQ的体积
A.与都有关B.与m有关,与无关
C.与p有关,与无关D.与π有关,与无关
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【题目】在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,由四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出一个小正方形(如图阴影部分)。若直角三角形中较小的锐角为a。现向大正方形区城内随机投掷一枚飞镖,要使飞镖落在小正方形内的概率为,则_____________。
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【题目】某旅行团按以下规定选择五个景区游玩:①若去,则去;②不能同时去;③都去,或者都不去;④去且只去一个;⑤若去,则要去和.那么,这个旅游团最多能去的景区为_______.
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【题目】设二次函数满足下列条件:当时,的最小值为0,且成立;当时,恒成立.
(1)求的解析式;
(2)若对,不等式恒成立、求实数的取值范围;
(3)求最大的实数,使得存在实数,只要当时,就有成立.
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