Question

【题目】已知⊙M：（x+1）2+y2= 的圆心为M，⊙N：（x﹣1）2+y2= 的圆心为N，一动圆M内切，与圆N外切． （Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）设A，B分别为曲线P与x轴的左右两个交点，过点（1，0）的直线l与曲线P交于C，D两点．若 =12，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则 ， 两式相加，得|PM|+|PN|=4＞|MN|，
由椭圆定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点，焦距为2，实轴长为4的椭圆，
∴动圆圆心P的轨迹方程
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，
则 ，
则 ．
当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），
设C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），A（﹣2，0），B（2，0），
联立 ，消去y，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．
则有 ，

=
= =
由已知，得 ，解得 ．
故直线l的方程为 ．
【解析】（Ⅰ）由椭圆定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点，焦距为2，实轴长为4的椭圆，由此能求出动圆圆心P的轨迹方程．（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x=1， ．当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），联立 ，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线l的方程．