Question

设f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．
（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当θ∈[0，

π

2

]时，|f(cosθ)-f(sinθ)|＜2．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，然后根据在x=1处的导数值等于其切线的斜率可求a的值，然后当f'（x）＜0时可求函数的单调递减区间，当f'（x）＞0时可求函数的单调递增区间．
（2）先确定函数f（x）在[0，1]单调增，求出最大值和最小值，故根据任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2，将cosθ、sinθ代入即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）．
由条件知，f'（1）=0，故a+3+2a=0?a=-1．
于是f'（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x-1）．
故当x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）时，f'（x）＜0；
当x∈（-2，1）时，f'（x）＞0．
从而f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）单调减少，在（-2，1）单调增加．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]单调增加，
故f（x）在[0，1]的最大值为f（1）=e，
最小值为f（0）=1．
从而对任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2．
而当θ∈[0，

π

2

]时，cosθ，sinθ∈[0，1]．
从而|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．