Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是正方形，
所以AB∥CD．
又因为AB平面PCD，CD平面PCD，
所以AB∥平面PCD．
又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
所以AB∥EF．
（Ⅱ）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD．
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以CD⊥平面PAD．
又AF平面PAD
所以CD⊥AF．
由（Ⅰ）可知AB∥EF，
又因为AB∥CD，所以CD∥EF．由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．
在△PAD中，因为PA=AD，所以AF⊥PD．
又因为PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．

【解析】（Ⅰ）证明：AB∥平面PCD，即可证明AB∥EF；（Ⅱ）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)．