Question

2．在平面直角坐标系xOy中，动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）若P是轨迹C上的动点．P点在y轴上的射影是点N，点A（3，4），当x≥0时，求|PA|+|PN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）设动点M的坐标为（x，y），根据动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，建立方程，化简可得点M的轨迹C的方程；
（2）先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为P到准线与P到A点距离之和最小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，进而推断出P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，利用两点间距离公式求得|FA|，则|PA|+|PN|的最小值可求．

解答 解：（1）设动点M的坐标为（x，y），
由题意，∵动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=|x|+1；
化简得y²=4x（x≥0）或y=0（x≤0），
∴点M的轨迹C的方程为$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x（x≥0）}\\{y=0（x＜0）}\end{array}\right.$；
（2）依题意可知，抛物线焦点为（1，0），准线方程为x=-1
只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，
由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，
此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可（F为曲线焦点），
显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，
由两点间距离公式得|FA|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
那么|PA|+|PN|的最小值为2$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了学生数形结合的思想和分析推理能力，是中档题．