Question

4．S_n是数列{a_n}的前n项和，若S_n=3ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=$\frac{1}{2}（{9^n}-1）$．

Answer 1

分析 利用递推关系可得a_n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵${S_n}={3^n}-1$，
∴当n=1时，a₁=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=2×3^n-1．
当n=1时上式也成立，
∴a_n=2×3^n-1．
∴${a}_{n}^{2}$=4×3^2n-2=4×9^n-1．
∴数列{${a}_{n}^{2}$}是等比数列，首项为4，公比为9．
∴${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+…+{a_n}^2$=$\frac{4（{9}^{n}-1）}{9-1}$=$\frac{1}{2}（{9^n}-1）$；
故答案为：$\frac{1}{2}（{9}^{n}-1）$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．