Question

已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝(  )

A．            B．               C．45            D．55

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】解：当0＜x≤1时，有-1＜x-1＜0，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，

当1＜x≤2时，有0＜x-1≤1，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1，

当2＜x≤3时，有1＜x-1≤2，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-3+2，

当3＜x≤4时，有2＜x-1≤3，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-4+3，

以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-n-1+n，

所以，函数f（x）=2^x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），

由于指数函数f（x）=2^x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．

然后：

①将函数f（x）=2^x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x-1和y=x的图象，

取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．

x≤0时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=0．

②取①中函数f（x）=2^x-1和y=x图象-1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，

即得f（x）=2x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．

即当0＜x≤1时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=1．

③取②中函数f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，

即得到f（x）=2x-2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．

即当1＜x≤2时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=2．

④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…

（n+1，n+1）．

即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．

综上所述方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：

0，1，2，3，4，…，

其通项公式为：a_n=n-1，前n项的和为 Sn=(n-1)•n /2 ，

∴S₁₀=45，

故选C．