Question

已知

a

=（cosx+sinx，sinx），

b

=（cosx-sinx，2cosx）．
（I）求证：向量

a

与向量

b

不可能平行；
（II）若

a

•

b

=1，且x∈[-π，0]，求x的值．

Answer 1

分析：（I）先假设两个向量平行，利用平行向量的坐标表示，列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简，求出一个角的正弦值，根据正弦值的范围推出矛盾，即证出假设不成立；
（II）利用向量数量积的坐标表示列出式子，并用倍角和两角和正弦公式进行化简，由条件和已知角的范围进行求值．

解答：解：（I）假设

a

∥

b

，则2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，
1+cosxsinx+cos²x=0，即1+

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

=0，
∴

2

sin（2x+

π

4

）=-3，解得sin（2x+

π

4

）=-

3 2

2

＜-1，故不存在这种角满足条件，
故假设不成立，即

a

与

b

不可能平行．
（II）由题意得，

a

•

b

=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）=1，
∵x∈[-π，0]，∴-2π＜2x＜0，即-

7π

4

＜2x+

π

4

＜

π

4

，
∴2x+

π

4

=-

5π

4

或

π

4

，解得x=-

3π

4

或

π

4

，
故x的值为：-

3π

4

．

点评：本题考查了向量共线和数量积的坐标运算，主要利用了三角恒等变换的公式进行化简，对于存在性的题目一般是先假设成立，根据题意列出式子，再通过运算后推出矛盾，是向量和三角函数相结合的题目．