【题目】设a为实数,函数f(x)=2x2+(x﹣a)|x﹣a|.
(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;
(2)求f(x)的最小值;
(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),求不等式h(x)≥1的解集.
【答案】
(1)解:若f(0)≥1,则﹣a|a|≥1 a≤﹣1
(2)解:当x≥a时,f(x)=3x2﹣2ax+a2,∴ ,
如图所示:
当x≤a时,f(x)=x2+2ax﹣a2,
∴ .
综上所述: .
(3)解:x∈(a,+∞)时,h(x)≥1,
得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0,△=4a2﹣12(a2﹣1)=12﹣8a2
当a≤﹣ 或a≥
时,△≤0,x∈(a,+∞);
当﹣ <a<
时,△>0,得:
即
进而分2类讨论:
当﹣ <a<﹣
时,a<
,
此时不等式组的解集为(a, ]∪[
,+∞);
当﹣ ≤x≤
时,
<a<
;
此时不等式组的解集为[ ,+∞).
综上可得,
当a∈(﹣∞,﹣ )∪(
,+∞)时,不等式组的解集为(a,+∞);
当a∈(﹣ ,﹣
)时,不等式组的解集为(a,
]∪[
,+∞);
当a∈[﹣ ,
]时,不等式组的解集为[
,+∞)
【解析】(1)f(0)≥1﹣a|a|≥1再去绝对值求a的取值范围,(2)分x≥a和x<a两种情况来讨论去绝对值,再对每一段分别求最小值,借助二次函数的对称轴及单调性.最后综合即可.(3)h(x)≥1转化为3x2﹣2ax+a2﹣1≥0,因为不等式的解集由对应方程的根决定,所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可.
【考点精析】掌握二次函数的性质和解一元二次不等式是解答本题的根本,需要知道当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减;求一元二次不等式
解集的步骤:一化:化二次项前的系数为正数;二判:判断对应方程的根;三求:求对应方程的根;四画:画出对应函数的图象;五解集:根据图象写出不等式的解集;规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表:
x | |||||||
y | ﹣1 | 1 | 3 | 1 | ﹣1 | 1 | 3 |
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式.
(2)根据(1)的结果,若函数y=f(kx)(k>0)周期为 ,当
时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
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【题目】空间四边形ABCD中,AB=CD且异面直线AB与CD所成的角为30°,E,F为BC和AD的中点,则异面直线EF和AB所成的角为( )
A.15°
B.30°
C.45°或75°
D.15°或75°
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表:
x | |||||||
y | ﹣1 | 1 | 3 | 1 | ﹣1 | 1 | 3 |
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式.
(2)根据(1)的结果,若函数y=f(kx)(k>0)周期为 ,当
时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
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【题目】f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意的x1∈[﹣1,2],存在x0∈[﹣1,2],使g(x1)=f(x0),则a的取值范围是( )
A.
B.
C.[3,+∞)
D.(0,3]
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【题目】已知圆C:x2+y2﹣4x﹣6y+12=0,点A(3,5).
(1)求过点A的圆的切线方程;
(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC的面积S.
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【题目】下列命题中,真命题是( )
A.若 与
互为负向量,则
+
=0
B.若
=0,则
=
或
=
C.若 ,
都是单位向量,则
=1
D.若k为实数且k =
,则k=0或
=
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【题目】某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的指数
与当天的空气水平可见度
(单位:
)的情况如表1:
700 | ||||
0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
该省某市2017年9月指数频数分布如表2:
频数 | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
(1)设,根据表1的数据,求出
关于
的线性回归方程;
(2)小李在该市开了一家洗车店,经统计,洗车店平均每天的收入与指数有相关关系,如表3:
日均收入(元) |
根据表3估计小李的洗车店9月份平均每天的收入.
(附参考公式: ,其中
,
)
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