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已知椭圆C1的方程是,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,C2的左、右顶点分别为C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B,且(O为原点),求k的取值范围;
(3)设P1,P2分别是C2的两条渐近线上的点,点M在C2上,且,求△P1OP2的面积.
【答案】分析:(1)由椭圆C1的方程是,知a=2,b=1,c=,由此能求出双曲线C2的方程.
(2)由直线y=kx+,双曲线两个方程联立,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由直线y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,得k2+1>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2==.由,能求出k的范围.
(3)C2渐近线为,设,且p2>0,p1<0,P1P2的方程为,令y=0,解得P1P2与x轴的交点为N(,0),由此能求出△P1OP2的面积.
解答:解:(1)∵椭圆C1的方程是
∴a=2,b=1,c=
∴双曲线C2的方程为
(2)直线y=kx+,双曲线两个方程联立,并化简,得:
(1-3k2)x2-6kx-9=0,
∵直线y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B
∴△=(-6k)2-4×(1-3k2)×(-9)>0
即k2+1>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2
则有x1+x2=

=k2x1x2+k(x1+x2)+2
=

∴-<k<
故k的范围为:-<k<
(3)C2渐近线为,设,且p2>0,p1<0,
∴P1P2的方程为
令y=0,解得P1P2与x轴的交点为N(,0),

=-2
=
=[]
∴p1p2=1,
∴△P1OP2的面积S=2
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦点为F,上顶点为A,P为C1上任一点,MN是圆C2:x2+(y-3)2=1的一条直径,若与AF平行且在y轴上的截距为3-
2
的直线l恰好与圆C2相切.
(Ⅰ)已知椭圆C1的离心率;
(Ⅱ)若
PM
PN
的最大值为49,求椭圆C1的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C1的方程是
x2
4
+y2=1
,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,C2的左、右顶点分别为C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:y=kx+
2
与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B,且
OA
OB
>2
(O为原点),求k的取值范围;
(3)设P1,P2分别是C2的两条渐近线上的点,点M在C2上,且
OM
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)
,求△P1OP2的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆C1的方程是数学公式,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,C2的左、右顶点分别为C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线数学公式与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B,且数学公式(O为原点),求k的取值范围;
(3)设P1,P2分别是C2的两条渐近线上的点,点M在C2上,且数学公式,求△P1OP2的面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C1的方程是
x2
4
+y2=1
,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,C2的左、右顶点分别为C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:y=kx+
2
与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B,且
OA
OB
>2
(O为原点),求k的取值范围;
(3)设P1,P2分别是C2的两条渐近线上的点,点M在C2上,且
OM
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)
,求△P1OP2的面积.

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