Question

1．已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和S_n满足S_n=n²+3n+a，数列{b_n}首项b₁=2，且满足数列{2${\;}^{{b}_{n}}$}是公比为4的等比数列．
（1）求a的值及数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记数列{$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$}的前n项和为T_n，对任意的n∈N^*都有λT_n＜1成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，利用S_n=n²+3n+a，能求出数列{a_n}的通项公式；由数列{b_n}首项b₁=2，且满足数列{2${\;}^{{b}_{n}}$}是公比为4的等比数列，得${2}^{{b}_{n}}$=4ⁿ=2²ⁿ，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），利用裂项求和法求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$}的前n项和，由此利用对任意的n∈N^*都有λT_n＜1成立，能求出实数λ的取值范围．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，其前n项和S_n满足S_n=n²+3n+a，
∴a₁=S₁=1+3+a=4+a，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+3n+a）-[（n-1）²+3（n-1）+a]=2n+2，
∵数列{a_n}是等差数列，∴a₁=2×1+2=4+a，解得a=0，
∴a_n=2n+2，n∈N^*．
∵数列{b_n}首项b₁=2，且满足数列{2${\;}^{{b}_{n}}$}是公比为4的等比数列，
∴${2}^{{b}_{n}}$=4ⁿ=2²ⁿ，
∴b_n=2n．
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$}的前n项和：
T_n=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$），
∵对任意的n∈N^*都有λT_n＜1成立，
∴λT_n=$\frac{λ}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜1成立，
∴$\frac{λ}{4}≤1$，解得λ≤4，
∴实数λ的取值范围是（-∞，4]．

点评 本题考查数列的通项公式及实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．