(08年浦东新区模拟理) 已知二次曲线Ck的方程:.
(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件;
(2)若双曲线Ck与直线有公共点且实轴最长,求双曲线方程;
(3)、为正整数,且<,是否存在两条曲线Cm、Cn,其交点与点,满足?若存在,求、的值;若不存在,说明理由.
解析:(1)当且仅当即 时,方程表示椭圆;
当且仅当,即时,方程表示双曲线.
(2)解法一:由化简得:--6分
≥0,即≥6或k≤4(舍)
∵双曲线实轴最长,∴k取最小值6时,最大即双曲线实轴最长,
此时双曲线方程为.
解法二:若Ck表示双曲线;则,不妨设双曲线方程为
联立得
与直线有公共点,
∴即,∴,
∴实轴最长的双曲线方程为.
解法三:不妨先求得关于直线的对称点,
设直线与双曲线左支交点为M,则
∴,∴实轴最长的双曲线方程为.
解法四:设双曲线与直线公共点为
则 有解,即有解,
∴
∴, ∴实轴最长的双曲线方程为.
(3)由(1)知、、是椭圆,、、、是双曲线,结合图像的几何性质,任意两椭圆之间无公共点,任意两双曲线之间也无公共点
设,,,
则根据椭圆、双曲线定义及(即),应有
,
所以+=8,
所以这样的、存在,且或或
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(08年浦东新区模拟) 棱长为2的正方体中,点是棱的CC1中点.
(1)求直线与平面所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)求四面体ACPD1的体积.
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(08年浦东新区模拟) 已知函数f (x) =(a、b为常数).
(1)若,解不等式;
(2)当x∈[,2]时,f (x)的值域为 [,2],求a、b的值.
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(08年浦东新区模拟) 已知等差数列,是的前项和,且.
(1)求的通项公式;
(2)判别方程是否有解,说明理由;
(3)设,是的前n项和,是否存在正数,对任意正整数,使恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
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(08年浦东新区模拟文)已知二次曲线的方程:.
(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件;
(2)对于点,是否存在曲线交直线于、两点,使得?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(3)已知与直线 有公共点,求其中实轴最长的双曲线方程.
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