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(08年浦东新区模拟理)  已知二次曲线Ck的方程:

(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件;

(2)若双曲线Ck与直线有公共点且实轴最长,求双曲线方程;

(3)为正整数,且<,是否存在两条曲线CmCn,其交点与点满足?若存在,求的值;若不存在,说明理由.

解析:(1)当且仅当时,方程表示椭圆;

当且仅当,即时,方程表示双曲线.

(2)解法一:由化简得:--6分

≥0,即≥6或k≤4(舍)

∵双曲线实轴最长,∴k取最小值6时,最大即双曲线实轴最长,

此时双曲线方程为.  

解法二:Ck表示双曲线;则,不妨设双曲线方程为 

联立 

与直线有公共点,

,∴

∴实轴最长的双曲线方程为

解法三:不妨先求得关于直线的对称点

设直线与双曲线左支交点为M,则

 

,∴实轴最长的双曲线方程为

解法四:设双曲线与直线公共点为 

 有解,即有解,

, ∴实轴最长的双曲线方程为

(3)由(1)知是椭圆,是双曲线,结合图像的几何性质,任意两椭圆之间无公共点,任意两双曲线之间也无公共点

 

则根据椭圆、双曲线定义及(即),应有

 所以+=8,

所以这样的存在,且  

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