Question

若集合A₁，A₂满足A₁∪A₂=A，则称（A₁，A₂）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A₁=A₂时，（A₁，A₂）与（A₂，A₁）为集合A的同一种分拆，
（1）集合A={a，b}的不同分拆种数为多少？
（2）集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？
（3）由上述两题归纳一般的情形：集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}的不同分拆种数为多少？（不必证明）

Answer 1

分析：（1）根据拆分的定义，对A₁分以下几种情况讨论：A₁=φ，A₁={a}，A₁={a，b}．
（2）考虑集合A₁为空集，有一个元素，2个元素，和集合A相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，即可求出值．当A₁为A时，A₂可取A的任何子集，此时A₂有8种情况，故拆法为8种；总之，共27种拆法．
（3）集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}的不同分拆种数为3ⁿ．

解答：解（1）A₁=φ 时，A₂=A，此时只有1种分拆；
A₁为单元素集时，A₂=C_UA₁或A，此时A₁有二种情况，故拆法为4种；
当A₁为A时，A₂可取A的任何子集，此时A₂有4种情况，故拆法为4种；总之，共9种拆法
（2）A₁=φ 时，A₂=A，此时只有1种分拆；
A₁为单元素集时，A₂=C_UA₁或A，此时A₁有三种情况，故拆法为6种；
A₁为双元素集时，例如A₁={a，b}，A₂={c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，A₁有三种情况，拆法为12种；
当A₁为A时，A₂可取A的任何子集，此时A₂有8种情况，故拆法为8种；总之，共27种拆法
（3）集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}的不同分拆种数为3ⁿ

点评：本题属于创新型的概念理解题，准确地理解拆分的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在．