Question

选修4-5：不等式选讲
对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：设

b

a

=t，原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，对任意t恒成立，故|t+1|+|2t-1|的最小值

3

2

大于或等于
|x-1|+|x-2|，从而求出实数x的取值范围．

解答：解：原式等价于

|a+b|+|a-2b|

|a|

≥|x-1|+|x-2|，设

b

a

=t，
则原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，对任意t恒成立．
因为|t+1|+|2t-1|=

3t    (t≥ 1 2 ) -t+2   (-1＜t＜ 1 2 ) -3t  ，(t≤-1)

，最小值在 t=

1

2

 时取到，为

3

2

，
所以有

3

2

≥|x-1|+|x-2|=

2x-3  (x≥2) 1  ，(1＜x＜2) 3-2x   (x≤1)

  解得 x∈[

3

4

，

9

4

]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想．判断|t+1|+|2t-1|的最小值

3

2

大于或等于|x-1|+|x-2|
是解题的关键．