Question

已知函数f（x）=x+

2

x

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用函数单调性的定义证明：f（x）在(0，

2

]上单调递减；
（3）若关于x的方程f（x）-2a=0在(

1

2

，

2

]上有解，求a的范围．

Answer 1

分析：（1）由于此函数是由两个奇函数的和构成的，可判断其为奇函数，再利用奇函数的定义证明：先证明定义域关于原点对称，在证明f（-x）=-f（x）即可．
（2）利用函数的单调性直接证明即可．
（3）利用函数的单调性，求出函数在区间内的值域，然后求出a的范围．

解答：解：（1）函数f（x）=x+

2

x

的定义域：（-∞，0）∪（0，+∞），定义域关于原点对称，
在f（x）的定义域内任取一个x，则有f（-x）=（-x）+

2

-x

=-（x+

2

x

）=-f（x）
所以，f（x）是奇函数．
（2）任设0＜x₁＜x₂＜

2

，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

2

x1

-（x₂+

2

x2

）=x₁-x₂+（

2

x1

-

2

x2

）=（x₁-x₂）

x1x2-2

x1x2

，
因为0＜x₁＜x₂＜

2

，0＜x₁x₂＜2，x₁-x₂＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数在（0，1）上为减函数．
（3）由（2）可知函数在(

1

2

，

2

]上是减函数，所以函数在(

1

2

，

2

]上的值域为：[2

2

，

9

2

），
关于x的方程f（x）-2a=0在(

1

2

，

2

]上有解，即关于x的方程

1

2

f（x）=a在(

1

2

，

2

]上有解，
所以a∈[

2

，

9

4

)．

点评：本题考查了奇函数的定义，判断函数奇偶性的方法，奇函数的证明方法；以及利用定义法证明函数的单调性以及利用函数的单调性求解函数的值域的方法，考查分析问题解决问题的能力．