Question

【题目】已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=﹣2x+1且f（2）=15．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2﹣2m）x﹣f（x）；
①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；
②求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设f（x）=ax2+bx+c，

∵f（2）=15，f（x+1）﹣f（x）=﹣2x+1，

∴4a+2b+c=15；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=﹣2x+1；

∴2a=﹣2，a+b=1，4a+2b+c=15，解得a=﹣1，b=2，c=15，

∴函数f（x）的表达式为f（x）=﹣x2+2x+15

（2）解：∵g（x）=（2﹣2m）x﹣f（x）=x2﹣2mx﹣15的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，

①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；

②当m≤0时，g（x）在[0，2]上为增函数，当x=0时，函数g（x）取最小值﹣15；

当0＜m＜2时，g（x）在[0，m]上为减函数，在[m，2]上为增函数，当x=m时，函数g（x）取最小值﹣m2﹣15；

当m≥2时，g（x）在[0，2]上为减函数，当x=2时，函数g（x）取最小值﹣4m﹣11；

∴函数g（x）在x∈[0，2]的最小值为

【解析】（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．（2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；②分当m≤0时，当0＜m＜2时，当m≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减即可以解答此题．