Question

请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分．
1（1）．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，
延长AB和DC相交于点P，若，则的值为    ．
（2）．（坐标系与参数方程选做题） 极坐标系中，A为曲线ρ²+2ρcosθ-3=0上
的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的动点，则|AB|距离的最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四边形ABCD是圆O的内接四边形，知∠PBC=∠D，∠PCB=∠A，故△PBC∽△PDA，设PB=x，PC=y，由，得PA=2x，PD=3y，由此能求出．
（2）曲线ρ²+2ρcosθ-3=0是圆心为（-1，0），半径为r==2的圆，直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的普通方程为x+y-7=0，由此利用点到直线的距离公式能求出|AB|距离的最小值．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，
∴∠PBC=∠D，∠PCB=∠A，
∴△PBC∽△PDA，
设PB=x，PC=y，
∵，
∴PA=2x，PD=3y，
由△PBC∽△PDA，得=，
∴，解得y=，
∴===．
故答案为：．
（2）∵曲线ρ²+2ρcosθ-3=0的普通方程为x²+y²+2x-3=0，
∴曲线是圆心为（-1，0），半径为r==2的圆，
∵直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的普通方程为x+y-7=0，
∴圆心为（-1，0）到直线的距离d==4，
∴|AB|距离的最小值为4．
故答案为：4．
点评：第（1）考查圆的内接四边形的性质及其应用，第（2）题考查圆和直线的极坐标方程的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．