Question

已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a、b都是大于1的正整数，且。
①求a的值；
②对于任意的，总存在，使得成立，求b；
③令，问数列中是否存在连续三项成等比数列，若存在，求出所有成等比数列的连续三项，若不存在，请说明理由。（14分）

Answer 1

①②③这三项依次是18，30，50

解：（1）由已知得：，，由，得， ，∵a,b都是大于1的正整数，∴，，又∵，∴,∴,∴,∴  （5分）
（2）,∴,∴,∴5一定是b的倍数，∵，∴  （8分）
（3）设数列中，成等比数列，由得

化简得： （*）  （10分）
当n＝1时，由（*）式得 b＝1，与题意矛盾，当n＝2时，由（*）式得 b＝4，
即成等比数列，，∴，
当，这与矛盾   （13分）
综上所述，当时，不存在连续三项成等比数列，当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50  （14分）