分析 (1)根据奇函数满足f(0)=0求出a,代入f(x)后利用单调性的定义:取值、作差、变形、定号、下结论,证明f(x)在区间 (-1,1)上的单调性;
(2)利用奇函数的性质转化不等式f(t-1)+f(t)<0,根据函数的单调性和定义域列出不等式组,求出t的范围即可.
解答 解:(1)∵f(x)是在区间(-1,1)上的奇函数,
∴f(0)=a=0,则$f(x)=\frac{x}{{1+{x^2}}}$…(2分)
设-1<x1<x2<1,
则$f({x_1})-f({x_2})=\frac{x_1}{1+x_1^2}-\frac{x_2}{1+x_2^2}=\frac{{({x_1}-{x_2})(1-{x_1}{x_2})}}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)}$,
∵-1<x1<x2<1,∴${x_1}-{x_2}<0,1-{x_1}{x_2}>0,(1+x_1^2)(1+x_2^2)>0$,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数…(6分)
(2)∵f(t-1)+f(t)<0,且f(x)为奇函数,
∴f(t)<-f(t-1)=f(1-t)
又∵函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数,
∴$\left\{\begin{array}{l}t<1-t\\-1<t<1\\-1<1-t<1\end{array}\right.$,解得$0<t<\frac{1}{2}$,
故关于t的不等式的解集为$\left\{{t|0<t<\frac{1}{2}}\right\}$…(12分)
点评 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用,利用单调性的定义:取值、作差、变形、定号、下结论证明单调性,注意函数的定义域,以及转化思想,化简、变形能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $-\frac{7}{8}$ | B. | $-\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{7}{8}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
懒惰 | 不懒惰 | 总计 | |
女 | |||
男 | |||
总计 |
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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