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    已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为x=
    		3
    2
    ，且与椭圆
    x2
    25
    +
    y2
    13
    =1    有共同的焦点．
    （1）求此双曲线的标准方程；
    （2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
    （重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L1：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
    （1）由已知得：c2=12，
    a2
    c
    =
    		3
    2
    ，则a2=3，b2=9，
    因此所求双曲线的标准方程为
    x2
    3
    -
    y2
    9
    =1    ．---（4分）
    （2）（普通中学学生做）
    将y=kx+3代入
    x2
    3
    -
    y2
    9
    =1    得（3-k2）x2-6kx-18=0，
    则由3-k2≠0，△=216-36k2＞0得：-
    		6
    ＜k＜
    		6
    ，k≠±
    		3
    ，---（7分）
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，
    由题意知：OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，---（9分）
    又y1=kx1+3，y2=kx2+3，
    则x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=
    9k2-9
    k2-3
    =0    ，即k=±1满足条件．---（12分）
    （重点中学学生做）
    将y=kx+3代入
    x2
    3
    -
    y2
    9
    =1    得（3-k2）x2-6kx-18=0，
    则由3-k2≠0，△=216-36k2＞0得：-
    		6
    ＜k＜
    		6
    ，k≠±
    		3
    ，---（7分）
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，
    由题意知：A、B两点关于直线L1对称，---（9分）
    则AB的中点D的坐标为(
    3k
    3-k2
    ，
    9
    3-k2
    )    ，
    并满足直线L1的方程y=-
    1
    k
    x+6    ，则k=±1满足条件．---（12分）
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    直线l：y=ax+1与双曲线3x2-y2=1有两个不同的交点，
    （1）求a的取值范围；
    （2）设交点为A，B，是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，若存在就求出直线l的方程，若不存在则说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    过椭圆
    x2
    6
    +
    y2
    5
    =1    内的一点P（2，-1）的弦，恰好被点P平分，则这条弦所在直线方程（　　）
    A．y=
    5
    3
    x-
    5
    6
    		B．y=
    5
    3
    x-
    13
    3
    		C．y=-
    5
    3
    x+
    5
    6
    		D．y=
    5
    3
    x+
    11
    6

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    y轴上两定点B1（0，b）、B2（0，-b），x轴上两动点M，N．P为B1M与B2N的交点，点M，N的横坐标分别为XM、XN，且始终满足XMXN=a2（a＞b＞0且为常数），试求动点P的轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    过直角坐标平面xOy中的抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为
    π
    4
    的直线与抛物线相交于A、B两点．
    （1）求直线AB的方程；
    （2）试用p表示A、B之间的距离；
    （3）当p=2时，求∠AOB的余弦值．
    参考公式：（xA2+yA2）（xB2+yB2）=xAxB[xAxB+2p（xA+xB）+4p2]．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于M，N两点，MN的中点为P，且OP的斜率为
    		2
    2
    ，则
    m
    n
    的值为（　　）
    A．
    		2
    2
    		B．
    2
    		2
    3
    		C．
    9
    		2
    2
    		D．
    2
    		3
    27

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    （B题）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为2
    		3
    ，离心率为
    		3
    3
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设点A（-1，1），过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
    （1）求证：OA⊥OB；
    （2）当△OAB的面积等于
    		10
    时，求k的值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ．
    （1）若椭圆的长轴长为4，离心率为
    		3
    2
    ，求椭圆的标准方程；
    （2）在（1）的条件下，设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

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