精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函f(x)=ex-x (e为自然对数的底数).
(1)求f(x)的最小值;
(2)不等式f(x)>ax的解集为P,若M={x|数学公式}且M∩P≠∅求实数a的取值范围;
(3)已知n∈N+,且Sn=∫n0f(x)dx,是否存在等差数列{an}和首项为f(I)公比大于0的等比数列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn?若存在,请求出数列{an}、{bn}的通项公式.若不存在,请说明理由.

解:(1)∵函数f(x)=ex-x,∴f′(x)=ex-1;由f′(x)=0,得x=0,当x>0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当x<0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减;∴函数f(x)的最小值为f(0)=1.
(2)∵M∩P≠∅,∴f(x)>ax在区间[,1]有解,由f(x)>ax,得ex-x>ax,即a<在[,2]上有解;
令g(x)=,x∈[,2],则g′(x)=,∴g(x)在[,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增;
又g()=2-1,g(2)=-1,且g(2)>g(),∴g(x)的最大值为g(2)=-1,∴a<-1.
(3)设存在公差为d的等差数列{an}和公比为q(q>0),首项为f(1)的等比数列{bn},
使a1+a2+…+an+b1+b2+…+bn=Sn
;且b1=f(1)=e-1,
;∴a1=-,又n≥2时,an+bn=sn-sn-1=en-1(e-1)-n+
故n=2,3时,有
②-①×2得,q2-2q=e2-2e,解得q=e,或q=2-e(舍),故q=e,d=-1;
此时an=-+(n-1)(-1)=-n,
∴存在满足条件的数列{an},{bn}满足题意.
分析:(1)∵函数f(x)=ex-x,对f(x)求导,令f′(x)=0,得x=0,从而求得函数f(x)的最小值;
(2)由M={x|}且M∩P≠∅,得f(x)>ax在区间[,1]有解,即ex-x>ax,可得a<在[,2]上有解,故令g(x)=,x∈[,2],求导得,g′(x)=,利用导数可求得g(x)在[,2]上的最大值为
g(2),从而得a的取值范围;
(3)设存在公差为d的等差数列{an}和公比为q(q>0),首项为f(1)的等比数列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn,则由sn=∫ONf(x)dx,得sn,由b1=f(1)=e-1,且a1+b1=s1,可得a1,又n≥2时,an+bn=sn-sn-1=en-1(e-1)-n+
故n=2,3时,有可解得q=e,从而得d=-1,所以求得an,bn;得到满足条件的数列{an},{bn}.
点评:本题综合考查了利用导数求函数的最值问题,集合关系,定积分求值问题,函数与数列的综合应用问题,属于较难的问题;解题时需要认真分析,细心解答,避免出错.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函f(x)=ex-x (e为自然对数的底数).
(1)求f(x)的最小值;
(2)不等式f(x)>ax的解集为P,若M={x|
12
≤x≤2
}且M∩P≠∅求实数a的取值范围;
(3)已知n∈N+,且Sn=∫n0f(x)dx,是否存在等差数列{an}和首项为f(I)公比大于0的等比数列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn?若存在,请求出数列{an}、{bn}的通项公式.若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011年福建省泉州市安溪八中高考数学模拟试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知函f(x)=ex-x (e为自然对数的底数).
(1)求f(x)的最小值;
(2)不等式f(x)>ax的解集为P,若M={x|}且M∩P≠∅求实数a的取值范围;
(3)已知n∈N+,且Sn=∫nf(x)dx,是否存在等差数列{an}和首项为f(I)公比大于0的等比数列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn?若存在,请求出数列{an}、{bn}的通项公式.若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年江西省重点中学联盟高三第一次联考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知函f(x)=ex-x (e为自然对数的底数).
(1)求f(x)的最小值;
(2)不等式f(x)>ax的解集为P,若M={x|}且M∩P≠∅求实数a的取值范围;
(3)已知n∈N+,且Sn=∫nf(x)dx,是否存在等差数列{an}和首项为f(I)公比大于0的等比数列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn?若存在,请求出数列{an}、{bn}的通项公式.若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011年广东省中山一中高三第八次统测数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知函f(x)=ex-x (e为自然对数的底数).
(1)求f(x)的最小值;
(2)不等式f(x)>ax的解集为P,若M={x|}且M∩P≠∅求实数a的取值范围;
(3)已知n∈N+,且Sn=∫nf(x)dx,是否存在等差数列{an}和首项为f(I)公比大于0的等比数列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn?若存在,请求出数列{an}、{bn}的通项公式.若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案