Question

（I）①证明两角和的余弦公式C_（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由C_（α+β）推导两角和的正弦公式S_（α+β）：sin（α+β）= sinαcosβ+cosαsinβ；
（Ⅱ）已知。

Answer 1

解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角-β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4。则P1（1 ，0） ，P2（cosα，sinα），P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））。由P1P3= P2P4及两点间的距离公式，得 [ cos(α+β)-1]2+sin2（a+β）=[cos（-β）-cosα]2+ [ sin（-β）-sinα]2，展开并整理，得2-2cos（α+β）=2- 2（cosαcosβ- sinαsinβ） ∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； ②由①易得                                    =sinαcosβ+cosαsinβ ∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

（Ⅱ） 。