Question

将函数y=

2-(x-1)2

-1（x∈[0，2]）图象绕原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则a的最大值是（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：确定函数在x=0处，函数图象的切线斜率，可得倾斜角，从而可得结论．

解答：解：由题意，函数图象如图所示，函数在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数．
设函数在x=0 处，切线斜率为k，则k=f'（0）
∵f'（x）=

1

2

•

-2(x-1)

2-(x-1)2

，
∴∴k=f'（0）=1，可得切线的倾斜角为45°，
因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为 90°，也就是说，最大旋转角为90°-45°=45°，即θ的最大值为45°
故选B．

点评：本题考查了导数的几何意义和函数的图象与图象变化等知识点，将函数图象绕原点逆时针旋转θ后，所得曲线仍是一个函数的图象，求角θ的最大值，属于中档题．