Question

【题目】已知a＞0，b＞0，a+b=4，m∈R．

（1）求+的最小值；

（2）若|x+m||x2|≤+对任意的实数x恒成立，求m的范围．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）-3≤m≤1

【解析】

（1）结合条件构造均值定理的结构形式，利用均值定理求解最小值；

（2）根据第（1）问可得+的最小值，求|x+m||x2|的最大值小于等于+的最小值.

（1）∵a＞0，b＞0，a+b=4，

∴+=（+）（a+b）=（2++）≥（2+2）=1，

当且仅当a=b=2时取“=”；∴+的最小值为1；

（2）若|x+m||x-2|≤+对任意的实数x恒成立，

则|x+m||x-2|≤对任意的实数x恒成立，

即|x+m||x-2|≤1对任意的实数x恒成；

∵|x+m||x-2|≤|（x+m）（x-2）|=|m+2|，

即|m+2|≤1，∴-1≤m+2≤1，解得3≤m≤1，

∴m的取值范围是3≤m≤1．