Question

8．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且a_n+1=2a_n+3，n∈N⁺
（1）求证：数列{a_n+3}是等比数列；
（2）求数列{n（a_n+3）}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n+1+3=2a_n+3+3，即a_n+1+3=2（a_n+3），由等比数列的定义，即可证数列{a_n+3}是等比数列；
（2）根据（1）由等比数列的通项公式，求出a_n+3，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式，求出前n项和T_n．

解答 解：（1）a_n+1+3=2a_n+3+3，即a_n+1+3=2（a_n+3），
∴$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}=2$，又a₁+3=4≠0，
∴数列{a_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列；
（2）由（1）得a_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴n（a_n+3）=n•2ⁿ⁺¹，
T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，①
2T_n=1×2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，②
①-②得：-T_n=4+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=4+$\frac{8（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²
=-4+（1-n）•2ⁿ⁺²，
∴T_n=2ⁿ⁺²（n-1）+4．

点评 本题考查了等比数列的定义，同时考查了数列的求和方法：错位相减法，注意运用等比数列的求和公式，属于中档题．