Question

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c²＜a²+b²+2abcos2C，则∠C的取值范围是

（0，

π

3

）

．

Answer 1

分析：根据余弦定理表示出c²，代入已知的不等式中，移项合并后，再利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosC的一元二次不等式，求出不等式的解集得到cosC的范围，由C为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可得到角C的范围．

解答：解：根据余弦定理得：c²=a²+b²-2ab•cosC，
已知不等式化为：a²+b²-2ab•cosC＜a²+b²+2abcos2C，
整理得：cos2C+cosC＞0，即2cos²C+cosC-1＞0，
因式分解得：（2cosC-1）（cosC+1）＞0，
解得：cosC＞

1

2

或cosC＜-1（舍去），
∴cosC＞

1

2

，由C为三角形的内角，
则∠C的取值范围是（0，

π

3

）．
故答案为：（0，

π

3

）

点评：此题考查了余弦定理，一元二次不等式的解法，二倍角的余弦函数公式，以及余弦函数的图象与性质，利用余弦定理化简已知的不等式是本题的突破点．