Question

14．已知抛物线f（x）=x²+px+q上有一点M（x₀，f（x₀））位于x轴的下方．
（1）求证：f（x）必与x轴有两个交点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₀＜x₂（x₁＜x₂）；
（2）若点M为（1，-2）时，求整数x₁，x₂．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=x²+px+q=${（x+\frac{p}{2}）}^{2}$+q-$\frac{{p}^{2}}{4}$ 上有一点M（x₀，f（x₀））位于x轴的下方，可得y₀=${{（x}_{0}+\frac{p}{2}）}^{2}$+q-$\frac{{p}^{2}}{4}$＜0，求得△＞0，即可证得结论．
（2）利用韦达定理可得x₁ +x₂ =-p，x₁•x₂ =q，f（x）=x²-（x₁ +x₂）x+x₁•x₂ ．再把点M为（1，-2）代入可得即（x₁ -1）（x₂ -1）=-2，再根据整数x₁，
x₂ 满足x₁＜x₂ ，求得整数x₁，x₂的值．

解答 （1）证明：函数f（x）=x²+px+q=${（x+\frac{p}{2}）}^{2}$+q-$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∵抛物线f（x）=x²+px+q上有一点M（x₀，f（x₀））位于x轴的下方，
故有y₀=${{（x}_{0}+\frac{p}{2}）}^{2}$+q-$\frac{{p}^{2}}{4}$＜0，∴p²＞4q，∴△=p²-4q＞0，
∴f（x）的图象必与x轴有两个交点A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂ ，
设抛物线f（x）=（x-x₁）（x-x₂），将x₀代入可得f（x₀）=（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，
∴x₁＜x₀＜x₂ ．
（2）解：根据抛物线f（x）=x²+px+q，再利用韦达定理可得x₁ +x₂ =-p，x₁•x₂ =q，
故f（x）=x²-（x₁ +x₂）x+x₁•x₂ ．
再把点M为（1，-2）代入可得，1-（x₁ +x₂）x+x₁•x₂ =-2，
即（x₁ -1）（x₂ -1）=-2，再根据整数x₁，x₂ 满足x₁＜x₂ ，
可得x₁ -1=-1、x₂ -1=2，或x₁ -1=-2、x₂ -1=1．
求得x₁ =0、x₂ =3； 或x₁ =-1、x₂ =2．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．