Question

13．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}＞0$成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明它；
（2）解不等式f（x²）＜f（2x）；
（3）若f（x）≤m²-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性的定义进行证明：在区间[-1，1]任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，利用函数为奇函数的性质结合已知条件中的分式，可以证得f（x₁）-f（x₂）＜0，所以函数f（x）是[-1，1]上的增函数；
（2）由（1）可得f（x）在[-1，1]递增，不等式即为-1≤x²＜2x≤1，解不等式即可得到所求范围；
（3）根据函数f（x）≤m²-2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，说明f（x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）是[-1，1]上的增函数．
理由：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
∵$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}+（-{x}_{2}）}$＞0，
即$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
则f（x）是[-1，1]上的增函数． 
（2）由（1）可得f（x）在[-1，1]递增，
可得不等式f（x²）＜f（2x），即为
$\left\{\begin{array}{l}{-1≤{x}^{2}≤1}\\{-1≤2x≤1}\\{{x}^{2}＜2x}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{0＜x＜2}\end{array}\right.$
解得0＜x≤$\frac{1}{2}$，则解集为（0，$\frac{1}{2}$]；
（3）要使f（x）≤m²-2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只须f（x）_max≤m²-2am+1，即1≤m²-2am+1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m²-2am≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．令g（a）=-2ma+m²，
只须$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=2m+{m}^{2}≥0}\\{g（1）={m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$，
解得m≤-2或m≥2或m=0，
则实数m的取值范围是{m|m=0或m≤-2或m≥2}．

点评 本题考查了抽象函数的单调性与函数的值域、不等式解法及恒成立委托的解法，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．