Question

【题目】已知点M（2，0），圆C：x2+y2+4x=0.

（1）求直线3x+4y+1=0与圆C：x2+y2+4x=0相交所得的弦长|MN|；

（2）过点M的直线与圆C交于A，B两个不同的点，求弦AB的中点P的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）x2+y2=4，（x<﹣1）.

【解析】

（1）将圆的方程转化为标准形式，求出圆心与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可求出弦长|MN|=22.

（2）当M与P不重合时，连结CP，则CP⊥MP，从而可得|CP|2+|MP|2=|CM|2，设P（x，y），利用两点间的距离公式列方程即可求解.

（1）圆C：x2+y2+4x=0

可得圆C：（x+2）2+y2=4，圆心坐标（﹣2，0）半径为2，

圆的圆心到直线的距离为：d1，

∴直线3x+4y+1=0与圆C：x2+y2+4x=0相交所得的弦长|MN|=22；

（2）解：当M与P不重合时，连结CP，则CP⊥MP，

∴|CP|2+|MP|2=|CM|2，

设P（x，y），则（x+2）2+y2+（x﹣2）2+y2=16，

化简得：x2+y2=4（x<﹣1），

故弦AB中点P的轨迹方程是x2+y2=4，（x<﹣1）.