Question

16．已知数列{a_n}满足$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+1}$=n，n∈N^*，且a₂=6．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）设C_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2${\;}^{\frac{{a}_{n}}{2n-1}+1}$（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，数列{c_n}是单调递增数列．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+1}$=n，n∈N^*，且a₂=6，求a₁，a₃，a₄；
（2）猜想a_n=n（2n-1），用数学归纳法证明；
（3）由a_n=n+1，知c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，要使c_n+1＞c_n恒成立，则c_n+1-c_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，故（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立． 由此能得到存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+1}$=n，n∈N^*，且a₂=6，
∴a₁=1，a₃=15，a₄=28；
（2）猜想a_n=n（2n-1），用数学归纳法证明：
①n=1，2，结论成立；
②假设n=k（k≥2）时命题成立，即a_k=k（2k-1），
则n=k+1时，∵$\frac{{a}_{k+1}+{a}_{k}-1}{{a}_{k+1}-{a}_{k}+1}$=k，
∴a_k+1=$\frac{k+1}{k-1}$（a_k-1）=（k+1）[2（k+1）-1]，
∴结论成立，
由①②可得a_n=n（2n-1）；
（3）∵a_n=n（2n-1），∴c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，
要使c_n+1＞c_n恒成立，
∴c_n+1-c_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．             
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，
∴λ＜1．
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2．
即-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．
综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．

点评 本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大．