Question

定义：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）
（1）解关于x的不等式F（1，x²）+F（2，x）≤3x-1；
（2）记f（x）=3•F（1，x），设，若不等式对n∈N*恒成立，求实数a的取值范围；
（3）记g（x）=F（x，2），正项数列a_n满足：，求数列a_n的通项公式，并求所有可能的乘积a_i•a_j（1≤i≤j≤n）的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）有定义：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）先把关于x的不等式F（1，x²）+F（2，x）≤3x-1?x²+x²≤3x-1，然后求解一元二次不等式即可；
（2）有f（x）=3•F（1，x）得到f（x）的解析式，进而求得，然后利用不等式对n∈N*恒成立求解即可；
（3）有g（x）=F（x，2），且正项数列a_n满足：，求出数列a_n的通项公式，即可．
解答：解：（1）有定义：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）得到：不等式F（1，x²）+F（2，x）≤3x-1?x²+x²≤3x-1⇒；
（2）有f（x）=3•F（1，x）得到f（x）=3x∴=，
∵=对n∈N*恒成立，
当a＞0时，aⁿ＞0，∴对n∈N*恒成立?对n∈N*恒成立，易知，∴
（3）∵g（x）=F（x，2），∴g（x）=2^x，又正项数列a_n满足：，∴⇒a_n+1=3a_n又a₁=3
∴a_n=3ⁿ⇒a_i•a_j=3^i+j（o≤i≤j≤n），
将所得的积排成如下矩阵A=，设该矩阵的各项和为S，由在矩阵的空格处填上相应的数可以得：
矩阵B=，
在矩阵B中第一行的所有数的和为；
  在矩阵B中第二行的所有数的和为 ；
…
点评：此题考查了一元二次不等式的求解，还考查了作差及不等式的恒成立及等比数列的求和．