Question

如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.

（1）求证：FD∥平面ABC；

（2）求证：AF⊥BD；

 (3) 求二面角B—FC—G的正切值.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）

解析:

证：(1)∵F、G分别为EB、AB的中点，

∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC,  FG=DC，

    ∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC，

    ∴FD∥面ABC.

（2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB  ①  又FG∥EA，EA⊥面ABC

∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC.

∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD  ②

由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.

         （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.

过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC.

∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.

易求.