Question

1．已知$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{4x-{x^2}，x＜1}\\{{e^x}，x≥1}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为（-∞，e）．

Answer 1

分析 画出分段函数与y=kx的图象，利用方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，判断看的范围即可．

解答 解：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{4x-{x^2}，x＜1}\\{{e^x}，x≥1}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，
就是分段函数与y=kx的图象只有一个交点，如图：

显然k小于OA的斜率时满足题意，y=e^x，x≥1，导函数为y′=e^x，是增函数，当x=1时函数取得最小值，此时OA的斜率最小，最小值为：e，可得k＜e．
故答案为：（-∞，e）．

点评 本题考查函数的零点的求法，导数的应用，函数的单调性与导数的关系，考查计算能力．