Question

14．已知x，y∈R且2^x+2^y=1，则x+y的取值范围为（-∞，-2]．

Answer 1

分析 根据题意，对于2^x+2^y=1，由基本不等式分析可得1=2^x+2^y≥2$\sqrt{{2}^{x}•{2}^{y}}$=2$\sqrt{{2}^{x+y}}$，变形可得2^x+y≤$\frac{1}{4}$，进而可得2^x+y≤2^-2，由指数的运算性质计算可得答案．

解答 解：根据题意，在2^x+2^y=1中，2^x＞0，2^y＞0，
则有1=2^x+2^y≥2$\sqrt{{2}^{x}•{2}^{y}}$=2$\sqrt{{2}^{x+y}}$，
则有2^x+y≤$\frac{1}{4}$=2^-2；
则有x+y≤-2；
即x+y的取值范围为（-∞，-2]；
故答案为：（-∞，-2]．

点评 本题考查基本不等式的应用，注意x、y的取值范围是R、